Ловить мышей - это фразеологизм, выражающий способность или умение кого-либо успешно действовать, разоблачать, уличать в чем-то. В русском языке это выражение используется для обозначения чьей-либо способности выявлять ложь, обман или тайные уловки других людей.
Поэтому, в данном случае, выражение «Ловит мышей» не связано с грамматическим падежом в русском языке, а имеет идиоматический смысл.