В русском языке склонение существительных определяется их окончанием в форме родительного падежа единственного числа. Существительные первого склонения в родительном падеже единственного числа имеют окончание -а или -я. К первому склонению относятся существительные женского рода с нулевым окончанием в именительном падеже единственного числа и с окончанием -ы или -и в предложном падеже единственного числа.
Что касается слов «путь» и «мышь», то они относятся к разным склонениям. «Путь» — это существительное мужского рода, которое относится ко второму склонению. В родительном падеже единственного числа оно имеет форму «пути» (например, «взглянул на путь»).
Слово «мышь» — это существительное женского рода, которое относится к первому склонению. В родительном падеже единственного числа оно имеет форму «мыши» (например, «поймал мышь»).
Таким образом, из двух слов «путь» и «мышь» только «мышь» относится к первому склонению. К первому склонению также относятся такие существительные женского рода, как «дочь», «земля», «стена», «ночь», «жизнь» и многие другие, которые в родительном падеже единственного числа имеют окончание -ы или -и.