Пусть A’, B’ и C’ - середины отрезков OA, OB и OC соответственно. Тогда по определению середины отрезка имеем:
OA’ = A’A, OB’ = B’B, OC’ = C’C.
Рассмотрим векторы, соответствующие точкам A’, B’ и C’:
- вектор A’ = (OA + A’A) / 2 = (OA + OA’) / 2 = (OA + (1⁄2)OA) / 2 = (3⁄4)OA;
- вектор B’ = (OB + B’B) / 2 = (OB + OB’) / 2 = (OB + (1⁄2)OB) / 2 = (3⁄4)OB;
- вектор C’ = (OC + C’C) / 2 = (OC + OC’) / 2 = (OC + (1⁄2)OC) / 2 = (3⁄4)OC.
Таким образом, векторы A’, B’ и C’ пропорциональны векторам OA, OB и OC соответственно. Это означает, что точки A’, B’ и C’ лежат на одной прямой, параллельной плоскости, определяемой векторами OA, OB и OC.
Теперь докажем, что плоскость, проходящая через точки A’, B’ и C’, является единственной плоскостью, которая делит отрезки OA, OB и OC пополам.
Предположим, что существует другая плоскость, проходящая через середины отрезков OA, OB и OC. Обозначим середины отрезков OA, OB и OC через A», B» и C» соответственно. Тогда по определению середины отрезка имеем:
OA» = A»A, OB» = B»B, OC» = C»C.
Рассмотрим векторы, соответствующие точкам A», B» и C»:
- вектор A» = (OA + A»A) / 2 = (OA + OA») / 2 = (OA + (1⁄2)OA) / 2 = (3⁄4)OA;
- вектор B» = (OB + B»B) / 2 = (OB + OB») / 2 = (OB + (1⁄2)OB) / 2 = (3⁄4)OB;
- вектор C» = (OC + C»C) / 2 = (OC + OC») / 2 = (OC + (1⁄2)OC) / 2 = (3⁄4)OC.
Таким образом, векторы A», B» и C» пропорциональны векторам OA, OB и OC соответственно. Это означает, что точки A», B» и C» лежат на одной прямой, параллельной плоскости, определяемой векторами OA, OB и OC.
Следовательно, плоскости, проходящие через точки A’, B’ и C’ и через точки A», B» и C», совпадают, так как они обе параллельны плоскости, определяемой векторами OA, OB и OC, и проходят через середины отрезков OA, OB и OC.
Таким образом, мы доказали, что плоскость, проходящая через середины отрезков OA, OB и OC, является единственной плоскостью, которая делит данные отрезки пополам.